Obeleži sve kategorije koje odgovaraju problemu

Заокруживање реалних бројева

Три најчешће коришћена начина заокруживања реалног броја $x$ су:

• $\left\lfloor{x}\right\rfloor$ – заокруживање наниже, тј. на највећи цео број који је мањи или једнак од $x$. У језику Пајтон ово заокруживање врши се функцијом math.floor.

• $\left\lceil{x}\right\rceil$ – заокруживање навише, тј. на најмањи цео број који је већи или једнак од $x$. У језику Пајтон ово заокруживање врши се функцијом math.ceil.

• заокруживање на цео број који је најближи броју $x$. У језику Пајтон ово заокруживање врши се функцијом round. У случају када је реални број тачно између два цела броја (нпр. 3.5), различити програмски језици користе различита правила о заокруживању. У језику Пајтон користи се такозвано правлио парне цифре. Оно гласи да у случају када је реалан број налази тачно између два цела броја, заокруживање се врши тако да цифра јединица буде парна. Тако је на пример round(4.5) == 4, а round(5.5) == 6. Слично, round(-4.5) == -4, а round(-5.5) == -6.

Важе и следећа тврђења.

• Најмањи цео број строго већи од броја $x$ једнак $\left\lfloor{x}\right\rfloor + 1$.

• Највећи цео број строго мањи од броја $x$ једнак $\left\lceil{x}\right\rceil - 1$.

Докажимо прво тврђење и формално. Ако је $y = \left\lfloor{x}\right\rfloor$, тада је $y \leq x < y + 1$. Зато је $y + 1 = \left\lfloor{x}\right\rfloor + 1$ најмањи цео број који је строго већи од $x$ ($y$, који је први број мањи од њега, није такав). Друго тврђење се доказује веома слично.

Заокруживање користимо да бисмо нашли целобројна решења неких неједначина. Ако су $n$ и $k$ позитивни бројеви, тада важе следећа тврђења.

• Највећи цео број $x$ такав да је $x\cdot k \leq n$ једнак је $x=\left\lfloor{\frac{n}{k}}\right\rfloor$.

• Најмањи цео број $x$ такав да је $x\cdot k \geq n$ једнак је $x=\left\lceil{\frac{n}{k}}\right\rceil$.

• Најмањи цео број $x$ такав да је $x\cdot k > n$ једнак је $x=\left\lfloor{\frac{n}{k}}\right\rfloor + 1$

• Највећи цео број $x$ такав да је $x\cdot k < n$ једнак је $x=\left\lceil{\frac{n}{k}}\right\rceil - 1$.

Докажимо формално прво тврђење. По дефиницији важи да је $\left\lfloor{a}\right\rfloor = b$ акко је $b \leq a < b + 1$. Докажимо да је $\left\lfloor{\frac{n}{k}}\right\rfloor$ највећи број цео такав да помножен бројем $k$ даје вредност мању или једнаку од $n$. Ако је $x = \left\lfloor{\frac{n}{k}}\right\rfloor$, тада важи да је $x \leq \frac{n}{k} < x+1$. Зато је $x\cdot k \leq n < (x+1)\cdot k$ и $x = \left\lfloor{\frac{n}{k}}\right\rfloor$ је заиста највећи број такав да је $x\cdot k \leq n$.

Докажимо формално и друго тврђење. По дефиницији важи да је $\left\lceil{a}\right\rceil = b$ акко је $b-1 < a \leq b$. Зато, ако је $x = \left\lceil{\frac{n}{k}}\right\rceil$ тада је $x - 1 < \frac{n}{k} \leq x$. Зато је $(x-1)\cdot k < n \leq x\cdot k$, па је $x = \left\lceil{\frac{n}{k}}\right\rceil$ заиста најмањи цео број такав да важи $x\cdot k \geq n$.

И остала тврђења се доказују на сличан начин.

Касније ћемо показати да ако су $n$ и $k$ природни бројеви, тада се заокруживање њиховог количника може урадити и само помоћу целобројне аритметике (види задатке Поклони и Лифт).